Question

如圖，在直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為(－1，0)，(3，0)，(0，3)，過A、B、C三點的拋物線的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求當AD＋CD最小時點D的坐標；

(3)以點A為圓心，AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD＋CD最小時，直線BD與⊙A相切．

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：________．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)． 　　將(0，3)代入上式，得3＝a(0＋1)(0－3)．解得a＝－1． 　　所以拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)．即y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)連接BC，交直線l于點D． 　　因為點B與點A關于直線l對稱， 　　所以AD＝BD． 　　所以AD＋CD＝BD＋CD＝BC． 　　由“兩點之間，線段最短”的原理可知： 　　此時AD＋CD最小，點D的位置即為所求． 　　設直線BC的解析式為y＝kx＋b， 　　由直線BC過點(3，0)，(0，3)，得0＝3k＋b，3＝b． 　　解得k＝－1，b＝3， 　　所以直線BC的解析式為y＝－x＋3． 　　由(1)知：對稱軸l為x＝－＝1，即x＝1． 　　將x＝1代入y＝－x＋3，得y＝－1＋3＝2． 　　所以點D的坐標為(1，2)． 　　(3)①連接AD．設直線l與x軸的交點為點E． 　　由(1)知：當AD＋CD最小時，點D的坐標為(1，2)． 　　所以DE＝AE＝BE＝2． 　　所以∠DAB＝∠DBA＝45°． 　　所以∠ADB＝90°． 　　所以AD⊥BD． 　　所以BD與⊙A相切． 　�、�(1，－2)．