Question

【題目】定義：三角形一邊的中線(xiàn)與這邊上的高線(xiàn)之比稱(chēng)為這邊上的中高比．
（1）直接寫(xiě)出等腰直角三角形腰上的中高比為 ．
（2）已知一個(gè)直角三角形一邊上的中高比為5：4，求它的最小內(nèi)角的正切值．
（3）如圖，已知函數(shù)y= （x+4）（x﹣m）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸與x的正半軸交于點(diǎn)D，若△ABC中AB邊上的中高比為5：4，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：①當(dāng)斜邊上的中高比為5：4時(shí)，設(shè)高線(xiàn)為4k，則此邊上的中線(xiàn)為5k，如圖2，

在△ABC中，∠BAC=90°，

∴AD是高，

∴AD=4x，AE是中線(xiàn)，

∴CE=AE=5x，

在RtADE中，DE= =3k，

∴CD=CE+DE=8k，

∴tan∠C= = = ，

當(dāng)直角邊上的中高比為5：4時(shí)，設(shè)高為4k，此邊上的中線(xiàn)為5k，

如圖3，

在△ABC中，∠BAC=90°，AB是AC邊上的高，為4k，BD為AC邊上的中線(xiàn)，為5k，

根據(jù)勾股定理得，AD= =3k，

∴AC=2AD=6k，

∴tan∠C= = ，

∴直角三角形的最小內(nèi)角的正切值為 或 ；

（3）

解：∵函數(shù)y= （x+4）（x﹣m）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴令y=0，∴0= （x+4）（x﹣m），

∴x=﹣4或x=m，

∴A（﹣4，0），B（m，0），

∵點(diǎn)C是拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，

∴C（0，﹣ ），

∵對(duì)稱(chēng)軸與x的正半軸交于點(diǎn)D，

∴D（ ，0），

在Rt△COD中，設(shè)CD=5k，

∴OC=4k，

根據(jù)勾股定理得，OD=3k，

∴ ，∴ ，

即m的值為10．

【解析】解：（1）如圖1，

設(shè)等腰直角三角形的直角邊為2x，
∴BC邊上的高為AB=2x，
∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，
∴BD= BC=x，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，AD= = x，
∴等腰直角三角形腰上的中高比為 = ，
所以答案是： ；