Question

如圖，在△ABC中，∠A＞∠B，CR是∠C的平分線，AQ⊥CR，垂足為Q，P為AB的中點．求證：PQ＝(BC－AC)．

Answer 1

答案：
解析：

證明∵∠A＞∠B，∴BC＞AC，則延長AQ與BC交于D． 　　∵CR是∠ACB的平分線，且CR⊥AQ，∴∠ACQ＝∠DCQ，∠AQC＝∠DQC． 　　在△ACQ和△DCQ中，∠ACQ＝∠DCQ，CQ＝CQ，∠AQC＝∠DQC， 　　∴△ACQ≌△DCQ(ASA)，∴AC＝CD，AQ＝QD，∴Q是AD的中點． 　　∵P為AB的中點，∴PQ＝BD＝(BC－CD)＝(BC－AC)． 　　分析：由∠A＞∠B可知BC＞AC，因此要確定BC－AC與哪條線段的長相等．可延長AQ交BC于D，由CR平分∠ACB，AQ⊥CR可以證得AC＝CD，則BD＝BC－AC． 　　因而進一步需要證明PQ＝BD．觀察圖形，若PQ是△ABD的中位線，則PQ＝BD成立．已知P為AB的中點，且Q為AD的中點，因此問題可證．