Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB，CP與AB交于點D，且 PA=PB．
（1）請你過點P分別向AC、BC作垂線，垂足分別為點E、F，并判斷四邊形PECF的形狀；
（2）求證：△PAB為等腰直角三角形；
（3）設PA=m，PC=n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長；
（4）試探索當邊AC、BC的長度變化時，的值是否發(fā)生變化，若不變，請直接寫出這個不變的值，若變化，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形PECF的形狀是正方形，易證四邊形PECF是矩形，由角平分線的性質(zhì)可知：PE=PF，所以四邊形PECF是正方形；  
（2）先根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性質(zhì)即可判斷出△PAB是等腰直角三角形；
（3）如圖4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，所以AB=PA=，由（2）中的證明過程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，所以CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，所以在正方形PECF中，CE=PC=n．所以CA+CB=2CE=．進而求出△ABC的周長；
（4）因為∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，所以△ADC∽△PDB，故，即，…①同理可得，△CDB∽△ADP，得到 ，…②又PA=PB，則①+②得：===，所以這個值仍不變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192157739367414/SYS201311011921577393674022_DA/12.png">．
解答：解：（1）四邊形PECF的形狀是正方形，理由如下：
過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分別為E、F（如圖4）
∵∠ACB=90°，又由作圖可知PE⊥AC、PF⊥CB，
∴四邊形PECF是矩形，
又∵點P在∠ACB的角平分線上，
且PE⊥AC、PF⊥CB，
∴PE=PF，
∴四邊形PECF是正方形；
                         
（2）證明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，
∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP=90°，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴∠APE=∠BPF，
∵∠EPF=90°，從而∠APB=90°．
又因為PA=PB，
∴△PAB是等腰直角三角形；    
      
（3）如圖4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，
∴AB=PA=．                                        
由（2）中的證明過程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，
∴在正方形PECF中，CE=PC=n．
∴CA+CB=2CE=．
∴△ABC的周長為：AB+BC+CA=+；
               
（4）當邊AC、BC的長度變化時，的值不變，．理由如下：
如圖4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，
∴△ADC∽△PDB，故，即，…①
同理可得，△CDB∽△ADP，得到 ，…②
又PA=PB，則①+②得：===．
∴這個值仍不變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192157739367414/SYS201311011921577393674022_DA/29.png">．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到角平分線及線段垂直平分線的作法及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的面積公式，涉及面較廣，難度較大．