Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)求∠P的度數(shù)；

(3)點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，AB＝4，求線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO 　　∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB 　　∴∠A＝∠ACO＝∠PCB　1分 　　∵AB是⊙O的直徑 　　∴∠ACO＋∠OCB＝90°　2分 　　∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP　3分 　　∵OC是⊙O的半徑 　　∴PC是⊙O的切線　4分 　　(2)∵PC＝AC 　　∴∠A＝∠P 　　∴∠A＝∠ACO＝∠P　5分 　　∵∠A＋∠ACO＋∠PCO＋∠P＝180° 　　∴3∠P＝90° 　　∴∠P＝30°　6分 　　(3)∵點M是半圓O的中點 　　∴∠BCM＝45°　7分 　　由(2)知∠BMC＝∠A＝∠P＝30°∴BC＝AB＝2　8分 　　作BD⊥CM于D，∴CD＝BD＝ 　　∴DM＝ 　　∴CM＝　9分 　　∴S△BCM＝　10分 　　∵∠BOC＝2∠A＝60° 　　∴弓形BmC的面積＝　11分 　　∴線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積為　12分 　　(注：其它解法，請參照給分)