Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，0）點(diǎn)B（0，4），OB的垂直平分線CE，與OA的垂直平分線CD相交于點(diǎn)C．
（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）證明點(diǎn)C在直線AB上；
（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)F，會(huì)使得△CDF≌△0AB？若存在直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（-2，0）點(diǎn)B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵OB的垂直平分線CE，與OA的垂直平分線CD相交于點(diǎn)C，
∴OD=OA=×2=1，OE=OB=×4=2，
∴點(diǎn)C（-1，2）；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AB的解析式為y=2x+4，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=2×（-1）+4=-2+4=2，
∴點(diǎn)C（-1，2）在直線AB上；

（3）①點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，
如圖，∵△CDF≌△0AB，
∴CF=OB=4，
點(diǎn)F在CD右邊時(shí)，F(xiàn)₁（3，2），
點(diǎn)F在CD左邊時(shí)，F(xiàn)₂（-5，2）；
②點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)時(shí)，
∵△CDF≌△A0B，
∴DF=OB=4，
點(diǎn)F在CD右邊時(shí)，F(xiàn)₃（3，0），
點(diǎn)F在CD左邊時(shí)，F(xiàn)₄（-5，0）；
綜上所述，存在點(diǎn)F₁（3，2），F(xiàn)₂（-5，2），F(xiàn)₃（3，0），F(xiàn)₄（-5，0），使得△CDF≌△0AB．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB的長(zhǎng)，再根據(jù)線段垂直平分線的定義求出OD、OE的長(zhǎng)，然后判斷出四邊形CDOE是矩形，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線AB的解析式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可；
（3）分①點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=OB，②點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=OB，然后分別分兩種情況寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論，作出圖形更形象直觀．