Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，點P與點Q是平行四邊形ABCD邊上的動點，點P以每秒1個單位長度的速度，從點C運動到點D，點Q以每秒2個單位長度的速度從點A→點B→點C運動．當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．點P與點Q同時出發(fā)，設運動時間為t，△CPQ的面積為S．
（1）求S關于t的函數(shù)關系式；
（2）t為何值時，將△CPQ以它的一邊為軸翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形．

Answer 1

分析：（1）當0＜t≤2時，如圖1，過點B作BD⊥BC，交DC的延長線于點E，根據(jù)三角形面積公式求得S關于t的函數(shù)關系式，當2＜t≤4時，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于F點，由三角形面積公式求得S關于t的函數(shù)關系式，
（2）要使翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形，則△CPQ為等腰三角形，則要CQ=CP，看看t是否存在．

解答：解：（1）①當0＜t≤2時，如圖1，
過點B作BE⊥DC，交DC的延長線于點E，
∴∠BCE=∠D=60°，∠CBE=30°，
∴CE=

1

2

BC=4，由勾股定理得：BE=4

3

，
∴CP=t，S=

1

2

CP•BE=

1

2

×4

3

t=2

3

t；
②當2＜t≤4時，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，CQ=8-（2t-4）=12-2t，
∵∠DCF=∠B=60°，∠F=90°，
∴∠CPF=30°，
∴CF=

1

2

CP=

1

2

t，由勾股定理得：PF=

3

2

t，
S=

1

2

CQ×PF=

1

2

×（12-2t）×

3

2

t，
即S=-

3

2

t²+3

3

t．

（2）當0＜t≤2時，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合條件的菱形．
當2＜t≤4時，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴當t=4時，△CPQ為等腰三角形，
即為△CPQ的一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形．

點評：本題考查了四邊形的綜合題，解答本題多次運用解直角三角形的知識，用含t的式子表示出有關線段的長度是解答本題的關鍵，難度一般．