Question

【題目】如圖，在中，是內(nèi)心，，是邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求證：是的切線(xiàn)；

（2）連接，若，，求圓心到的距離及的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)到的距離是1，的長(zhǎng)度

【解析】

（1）連接OI，延長(zhǎng)AI交BC于點(diǎn)D，根據(jù)內(nèi)心的概念及圓的性質(zhì)可證明OI∥BD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)可證明∠AIO=90°，從而得到結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BI，利用垂徑定理可得到OE平分BI，再根據(jù)圓的性質(zhì)及中位線(xiàn)的性質(zhì)即可求出O到BI的距離；根據(jù)角平分線(xiàn)及圓周角定理可求出∠FOI=60°，從而證明△FOI為等邊三角形，最后利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

解：（1）證明：延長(zhǎng)AI交BC于D，連接OI，

∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OI，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠2，

∴OI∥BD，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，

∴∠AIO=∠ADB=90°，

∴AI為的切線(xiàn)；

（2）作OE⊥BI，由垂徑定理可知，OE平分BI，

又∵OB=OF，

∴OE是△FBI的中位線(xiàn)，

∵IF=2，

∴OE=IF==1，

∴點(diǎn)O到BI的距離是1，

∵∠IBC=30°，

由（1）知∠ABI=∠IBC，

∴∠ABI =30°，

∴∠FOI=60°，

又∵OF=OI，

∴△FOI是等邊三角形，

∴OF=OI=FI=2，

∴的長(zhǎng)度.