Question

5．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$ x-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD于點(diǎn)M，求線段MQ長(zhǎng)度的最大值．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與菱形BDEC的某一邊交于點(diǎn)S，是否存在 m 值，使得點(diǎn)C、Q、S、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出m值，不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，可求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
（2）由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)題意可得關(guān)于m的方程，求得m的值；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，；
（4）存在，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，直線l分別交BD交于點(diǎn)S，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到SQ∥CD，SQ=CD，由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），得到點(diǎn)S的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），列方程即可得到結(jié)論．如圖3，點(diǎn)P在線段OE上時(shí)，直線l分別交CE交于點(diǎn)S，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$ x-4=0，解得x₁=-2，x₂=8，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）；

（2）由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x軸，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如圖，線段MQ長(zhǎng)度=-$\frac{1}{2}$m+4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=-$\frac{1}{4}$m²+m+8，
即線段MQ長(zhǎng)度=-$\frac{1}{4}$（m-2）²+3，
當(dāng)m=2時(shí)，線段MQ長(zhǎng)度的最大值為3；

（3）拋物線上存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)Q，分別是Q₁（-2，0），Q₂（6，-4）．
若△BDQ為直角三角形，可能有三種情形，如答圖2所示：

①如答圖2，以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)．
此時(shí)以BD為直徑作圓，圓與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之Q點(diǎn)．
∵P在線段EB上運(yùn)動(dòng)，
∴-8≤x_Q≤8，而由圖形可見，在此范圍內(nèi)，圓與拋物線并無交點(diǎn)，
故此種情形不存在．
②以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)．
連接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=2$\sqrt{5}$，BD=4$\sqrt{5}$，
∵AD²+BD²=AB²，
∴△ABD為直角三角形，即點(diǎn)A為所求的點(diǎn)Q．
∴Q₁（-2，0）；
③以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)．
如圖，設(shè)Q₂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），過點(diǎn)Q₂作Q₂K⊥x軸于點(diǎn)K，則Q₂K=-y，OK=x，BK=8-x．
易證△Q₂KB∽△BOD，
∴$\frac{{Q}_{2}K}{OB}$=$\frac{BK}{OD}$，即$\frac{-y}{8}$=$\frac{8-k}{4}$，整理得：y=2x-16．
∵點(diǎn)Q在拋物線上，∴y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4．
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=2x-16，解得x=6或x=8，
當(dāng)x=8時(shí)，點(diǎn)Q₂與點(diǎn)B重合，故舍去；
當(dāng)x=6時(shí)，y=-4，
∴Q₂（6，-4）．
綜上所述，符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，0）或（6，-4）；

（4）存在，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，直線l分別交BD交于點(diǎn)S，
∵四邊形DCQS是平行四邊形，
∴SQ∥CD，SQ=CD，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），
∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴-$\frac{1}{2}$m+4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=8，
∴m=4，m=0（不合題意，舍去），
如圖3，點(diǎn)P在線段OE上時(shí)，直線l分別交CE交于點(diǎn)S，
∵四邊形DCQS是平行四邊形，
∴SQ∥CD，SQ=CD，
∵直線CE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$m-4，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），
∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m-4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4-（-$\frac{1}{2}$m-4）=8，
∴m=-4，m=8（不合題意，舍去），
∴當(dāng) m=±4時(shí)，點(diǎn)C、Q、S、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，方程思想和分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．