Question

若實數(shù)a、b、c滿足a²+b²+c²=9，那么代數(shù)式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由展開代數(shù)式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²，然后將其轉(zhuǎn)化為兩數(shù)差的形式（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=27-（a+b+c）²，
最后根據(jù)不等式的性質(zhì)a²+b²≥2ab來解答．
解答：解：∵a²+b²+c²=（a+b+c）²-2ab-2ac-2bc，
∴-2ab-2ac-2bc=a²+b²+c²-（a+b+c）²①
∵（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc ②
②代入①，得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²
=3a²+3b²+3c²-（a+b+c）²
=3（a²+b²+c²）-（a+b+c）²
=3×9-（a+b+c）²=27-（a+b+c）²，
∵（a+b+c）²≥0，
∴其值最小為0，
故原式最大值為27．
故答案為：27．
點評：本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)a²+b²≥2ab．在解答此題時，還利用了非負數(shù)的性質(zhì)（a+b+c）²≥0．