Question

【題目】如圖，四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BDC＝120°，AB＝AC，連接對角線AD，BC，點F在線段BD的延長線上，且CF＝DF，⊙O的切線CE交BF于點E．

（1）求證：CE∥AB；

（2）求證：AD＝BD+CD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）連接CO，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BAC=60°，得到△ABC為等邊三角形，得到CH⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CH⊥CE，根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論；

（2）證明△ACD≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BF，等量代換證明即可．

（1）證明：連接CO并延長，交AB于H，

∵四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BDC＝120°，

∴∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴CH⊥AB，

∵CE是⊙O的切線，

∴CH⊥CE，

∴CE∥AB；

（2）證明：∵∠BDC＝120°，

∴∠CDF＝60°，

∵CF＝DF，

∴△CDF為等邊三角形，

∴CD＝CF，∠DCF＝60°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠DCF＝∠ACB，

∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，即∠ACD＝∠BCF，

在△ACD和△BCF中，

，

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴AD＝BF＝BD+DF＝BD+CD．