Question

已知點P是正方形ABCD的對角線BD上任一點，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連PA、EF．猜想并證明線段PA與EF存在著什么關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：可通過構(gòu)建全等三角形來證得，根據(jù)正方形的性質(zhì)我們不難得出兩三角形全等的條件．（SAS）
解答：解：猜想：線段PA與EF相等且互相垂直．
證明：延長EP交AD于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵PE⊥BC，
∴EM⊥AD，
∵P在對角線上，
∴∠MDP=∠FDP=45°，
∴PM=MD，F(xiàn)D=FP，
∵AD⊥CD，PF⊥CD，PM⊥AD，
∴四邊形PFDM是矩形，即MD=PF，
∴PM=PF=MD=DF
∴AM=AD-MD=CD-DF=CF=EP，Rt△AMP≌Rt△EPF，
∴EF=AP，∠EFP=∠APM．
延長AP交EF于N，
則∵PF∥AD，
∴∠PAM=∠FPN
∴∠EFP+∠FPN=∠PAM+∠APM=90°
∴△FNP是直角三角形，∠FNP=90°
∴FN⊥AN，即EF⊥AP．
∴線段PA與EF相等且互相垂直．
點評：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，利用全等三角形來證線段相等是常用的方法．