Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙E過點(diǎn)O．與x軸、y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2，2）F為弧A0的中點(diǎn)．點(diǎn)B，D關(guān)于F點(diǎn)成中心對(duì)稱．　
（1）求點(diǎn)c的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從B點(diǎn)開始在折線段B-A-D上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始在射線B0上運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為2個(gè)長度單位每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．△POQ的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，若y=S_ABCD，求直線PQ與⊙E相交所得的弦長．

Answer 1

（1）解：過E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，連接OE，
由勾股定理得：OE=4=AE=BE，
∴AB=8，∠BAO=30°，∠ABO=60°，OB=4，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=90°=∠BFC，
∵F為弧OA的中點(diǎn)，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中
，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，∠ACB=∠ABC=60°，BC=AB=8，
∴OC=4，
∴C的坐標(biāo)是（4，0）
（2）當(dāng)Q在BO上時(shí)，P在AB上，
y=×OQ×H_OQ=（4-2t）•t=-t²+2t（0＜t＜2）；
當(dāng)Q在OC上時(shí)，P在AB上，
同法可求y=OQ×H_OQ=×（2t-4）×t=t²-2t（2＜t≤4）；
當(dāng)Q在OC的延長線上時(shí)，
y=OQ×AO=×（2t-4）×4=4t-8（4＜t≤8）；
（3）S_{平行四邊形ABCD}=8×4=32，
①-t²+2t=×32，
解得：t=或
②t²-2t=×32，
方程的解不在2＜t≤4內(nèi)，
③4t-8=×32，
方程的解不在4＜t≤8內(nèi)，過E作EK⊥弦MN于K，
∴當(dāng)t=時(shí)，EP=4-×2=3，∠EPM=60°，
PK=，EK=，
連接ME，由勾股定理得：MK=，
弦MN=2MK=；
當(dāng)t=時(shí)，
同法可求弦長是；
分析：（1）過E作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，連接OE，根據(jù)圓周角定理求出∠ABF=∠CBF，∠AFB=∠CFB=90°，根據(jù)ASA證△ABF≌△CBF，求出AB=BC即可；
（2）分為三種情況：當(dāng)Q在BO上時(shí)，P在AB上，當(dāng)Q在OC的延長線上時(shí)，當(dāng)Q在OC的延長線上時(shí)，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）求出平行四邊形的面積，根據(jù)已知得出三個(gè)方程，求出方程的解，注意看是否在范圍內(nèi)，過E作EK⊥弦MN于K，求出EK、根據(jù)勾股定理求出MK即可；
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、勾股定理、三角形的面積、點(diǎn)的坐標(biāo)、全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，此題是一道難度較大的題目，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求，分類討論思想的運(yùn)用．