Question

（2012•海淀區(qū)一模）已知拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．
（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），試確定拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)M是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S_△ABM=3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA=PO，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．將拋物線y=x²+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、D，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蜲ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出b的值，然后把b=-2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c求出c的值，拋物線的解析式即可求出；
（2）首先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的解析式，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，x²-2x+3），過M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，則N（x，x+3），根據(jù)三角形面積為3，求出x的值，M點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=

c

2

，又知拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 P(-

b

2

，

4c-b2

4

)，即可求出b和c的關(guān)系，進(jìn)而得到A（0，

1

2

b2），P（-

1

2

b，

1

4

b2），D（-

1

2

b，0），根據(jù)B點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+mx+

1

2

b2，再求出b與m之間的關(guān)系，再求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結(jié)合∠AOC=90°即可證明四邊形OABC是矩形．

解答：解：（1）依題意，-

b

2×1

=1，
解得b=-2．
將b=-2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c得6=3²-2×3+c．
解得 c=3．
所以拋物線的解析式為y=x²-2x+3．

（2）∵拋物線y=x²-2x+3與y軸交于點(diǎn)A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直線AB的解析式為y=x+3．
設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，x²-2x+3），過M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，則N（x，x+3）．（如圖1）
∴S△ABM=S△AMN+S△BMN=

1

2

MN•|xB-xA|=3．
∴

1

2

[x+3-(x2-2x+3)]×3=3．
解得 x₁=1，x₂=2．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或 （2，3）．

（3）如圖2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=

c

2

．
∵拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 P(-

b

2

，

4c-b2

4

)，
∴

4c-b2

4

=

c

2

．
∴b²=2c．
∴拋物線y=x2+bx+

1

2

b2，A（0，

1

2

b2），P（-

1

2

b，

1

4

b2），D（-

1

2

b，0）．
可得直線OP的解析式為y=-

1

2

bx．
∵點(diǎn)B是拋物線y=x2+bx+

1

2

b2與直線y=-

1

2

bx的圖象的交點(diǎn)，
令 -

1

2

bx=x2+bx+

1

2

b2．
解得x1=-b，x2=-

b

2

．
可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，

1

2

b2）．
由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+mx+

1

2

b2．
將點(diǎn)D（-

1

2

b，0）的坐標(biāo)代入y=x2+mx+

1

2

b2，得m=

3

2

b．
則平移后的拋物線解析式為y=x2+

3

2

bx+

1

2

b2．
令y=0，即x2+

3

2

bx+

1

2

b2=0．
解得x1=-b，x2=-

1

2

b．
依題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0）．
則BC=

1

2

b2．
則BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)，此題設(shè)計(jì)拋物線解析式得求法，拋物線頂點(diǎn)與對(duì)稱軸的求法以及矩形的判定，特別是第三問設(shè)計(jì)到平移的知識(shí)，同學(xué)們作答時(shí)需認(rèn)真，此題難度較大．