Question

如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P，Q分別為AB，OB邊上的動點(diǎn)，它們同時(shí)分別從點(diǎn)A，O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動，速度均為1厘米/秒，設(shè)移動的時(shí)間為t（0≤t≤4）秒．
（1）求運(yùn)動t秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含t的式子表示）．
（2）若△OPQ的面積為Scm²，運(yùn)動的時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大面積是多少？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分？
（4）按此速度運(yùn)動下去，△OPQ能否成為正三角形？若能，求出時(shí)間t；若不能，請說明理由．能否通過改變Q點(diǎn)的速度，使△OPQ成為正三角形？若能，請求出改變后Q的速度和此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，再根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根據(jù)比例式求出AM、PM的值，P點(diǎn)坐標(biāo)即可得到，由
（2）根據(jù)三角形的面積公式，P點(diǎn)縱坐標(biāo)與OQ的長度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可；
（3）因?yàn)镾_△ABO=OA×OB=×3×4=6，又S_△PQB=BQ×Py=×（4-t）（3-t），若直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分
則當(dāng)×（4-t）（3-t）=×6或×（4-t）（3-t）=×6，分別求出符合題意的t值即可；
（4）按此速度運(yùn)動下去，△OPQ不能成為正三角形根據(jù)正三角形的性質(zhì)PN垂直平分邊OQ，所以無論t為何值時(shí)，△OPQ都不可能為正三角形；改變Q點(diǎn)速度根據(jù)正三角形的性質(zhì)，0Q=2ON，PN=OQ，分別列式求解即可得到Q點(diǎn)運(yùn)動速度和時(shí)間t．
解答：解：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB==5=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴，
∴PM=t，AM=t，
∴OM=OA-AM=3-t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，3-t），
∵Q點(diǎn)的運(yùn)動速度是速度為1厘米/秒，
∴OQ=1×t，
∴Q的坐標(biāo)是（t，0）；
（2）OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=×t×（3-t）=-（t-）²+，
∵a=-＜0，
∴當(dāng)t=時(shí)，S_最大=；
（3）∵S_△ABO=OA×OB=×3×4=6，
又S_△PQB=BQ×Py=×（4-t）（3-t），
當(dāng)×（4-t）（3-t）=×6時(shí)，則t=（舍去）或；
當(dāng)×（4-t）（3-t）=×6時(shí)，則t=（舍去）或，
∴當(dāng)t=或時(shí)，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分；
（4）按此速度運(yùn)動下去，△OPQ不能成為正三角形，理由如下：過點(diǎn)P作PN⊥OQ，
∵OP²=PN²+ON²=PN²+（t）2，QP²=PN²+QN²=PN²+（t）2，
要使△OPQ成為等邊三角形，則PN²+（t）²=PN²+（t）2，
∴t=0，但此時(shí)不存在三角形，
∴按此速度運(yùn)動下去，△OPQ不能成為正三角形，
設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的速度為k，若△OPQ為正三角形，則OP=PQ=OQ，OQ=2ON，
∴kt=2×t，k=，
此時(shí)PN=OP•sin60°=OP=OQ，
即：3-t=×t，
解得：t=，
∴當(dāng)Q的運(yùn)動速度為cm/s是，△△OPQ成為正三角形，此時(shí)t=．
點(diǎn)評：此題考查了勾股定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)、等邊三角形的高與底邊的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法，只要肯于動腦也不難解決．