Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c與y軸相交于點C(0，1)，x₁，x₂是方程ax²＋bx＋c＝x的兩個根，且x₁＝－x₂．點A(x₁，0)在點B(x₂，0)的左邊，以AB為直徑的圓交y軸于C，D兩點．

(1)求拋物線y＝ax²＋bx＋c的解析式；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于E點，連結(jié)CE并延長交圓于F點，求EF的長；

(3)過D點作圓的切線交直線CB于點P，判斷點P是否在拋物線上說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點C(0．1)，∴c＝1，又∵x1、x2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的兩個根．且x1＝－x2，∴x1＋x2＝－＝0，∴b＝1，由x1＝－x2知O為圓點，∴OA＝OB＝OC，∴x1＝－1，x2＝1，x1·x2＝＝－1，即＝－1，∴a＝－1，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式為y＝－x2＋x＋1; 　　(2)∵y＝－x2＋x＋1＝－(x－)＋，∴拋物線y＝－x2＋x＋1的對稱軸是x＝，∴E點的坐標為(，0)，∴CE＝＝，AE＝1＋＝，BE＝1－＝，由相交弦定理，得CE·EF＝AE·BE，∴EF＝＝×÷＝; 　　(3)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，∵點B，C的坐標分別為(1，0)，(0，1)，∴，解這個方程組，得，∴直線BC的解析式為y＝－x＋1．由圓的對稱性可知點D的坐標為(0，－1)．顯然，⊙O的切線DP∥x軸，∴直線DP上的所有點的縱坐標都為－1．把y＝－1代入y＝－x＋1，得x＝2．∴點P的坐標為(2，－1)．將x＝2，y＝－1代入y＝－x2＋x＋1得左邊＝－1，右邊＝－22＋2＋1＝－1，左邊＝右邊．∴點P在拋物線y＝－x2＋x＋1上．