Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于點E，
（1）試說明點E為線段AB的黃金分割點；
（2）若AB=4，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ACB=72°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BCE=36°，從而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式整理，并根據(jù)黃金分割點的定義即可得證；
（2）根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AE=CE=BC，再根據(jù)黃金分割求解即可．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=

1

2

∠ACB=

1

2

×72°=36°，
∴∠BCE=∠A=36°，
∴AE=BC，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴

AB

BC

=

BC

BE

，
∴BC²=AB•BE，
即AE²=AB•BE，
∴E為線段AB的黃金分割點；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，
∴BC=CE，
由（1）已證AE=CE，
∴AE=CE=BC，
∴BC=

5 -1

2

•AB=

5 -1

2

×4=2

5

-2．

點評：本題考查了黃金分割點的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，理解黃金分割點的定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（

5 -1

2

）叫做黃金比是解題的關(guān)鍵．