Question

國際象棋比賽中，勝一局得1分，平一局得0.5分，負一局得0分，今有8名選手進行單循環(huán)比賽（每兩人均賽一局），賽完后，發(fā)現(xiàn)各選手的得分均不相同，當(dāng)按得分由大到小排列好名次手，第四名選手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分總和，問前三名選手各得多少分？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由已知，現(xiàn)設(shè)一個運動員的得分討論分析，進一步討論推理論證8個運動員的得分范圍，最后確定前三名的得分．
解答：解：設(shè)第i個運動員為A_i，得分為a_i（_i=1，2，7，8），則a₁＞a₂＞…＞a₇＞a₈，由于8名選手每人參加7局比賽，勝的最多者得（7分），
即a₁≤7，共賽局，總積分為2（8分）
所以a₁+a₂+…+a₇+a₈=28①
因為每局得分為0，，1三種，
所以只能在{0，，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a₄=4.5，a₂=a₅+a₆+a₇+a₈②
若a₃≥5.5，則a₂≥6，a₁≥6.5?a₁+a₂+a₃≥6.5+6+5.5=18
由①，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈≤10，但a₄=4.5，
所以a₅+a₆+a₇+a₈≤10-4.5=5.5這與a₂≥6矛盾，
故a₃＜5.5
但a₃＞a₄=4.5，
所以a₃=5
這時a₁+a₂+a₅+a₆+a₇+a₈=28-5-4.5=18.5
也就是a₁+2a₂=18.5
若a₂=5.5?a₁=18.5-11=7.5＞7≥a₁，這不可能
若a₂≥6.5?a₁=18.5-2a₁≤18.5-13＞5.5＜a₂，矛盾．
所以，只能a₂=6
此時a₁=18.5-2×6=6.5
所以，前三名選手得分依次為6.5，6，5．
點評：此題考查的知識點是推理與論證．解題的關(guān)鍵是分情況討論及推理論證．