Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= ，以點C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E．
（1）求AE的長度；
（2）分別以點A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點F（F與C在AB兩側），連接AF、EF，設EF交弧DE所在的圓于點G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，由AB=1，BC= ，

得AC= = ，

∵以點C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E

∴BC=CD，AE=AD，

∴AE=AC﹣CD=

（2）解：∠EAG=36°，理由如下：

∵FA=FE=AB=1，AE= ，

∴ = ，

∴△FAE是黃金三角形，

∴∠F=36°，∠AEF=72°，

∵AE=AG，

∴∠EAG=∠F=36°

【解析】（1）根據在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根據BC=CD，AE=AD求得AE=AC﹣AD即可．（2）根據FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黃金三角形可得∠EAG=∠F=36°．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．