Question

在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．

（1）當點C₁在線段CA的延長線上時，如圖1，求∠CC₁A₁的度數(shù)；

（2）如圖2，△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接AA₁，CC₁，若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積；

（3）點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P₁，求線段EP₁長度的最大值與最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）90°；（2）；（3）最大值為7，最小值為

【解析】

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，即得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，從而得到結(jié)果；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△A₁BC₁，即得BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，從而可得，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，即可證得△ABA₁∽△CBC₁，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，由△ABC為銳角三角形可得點D在線段AC上，在Rt△BCD中，根據(jù) 45°角的正弦函數(shù)即可求得BD的長，①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最��；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大。

（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，

∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°

∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；

（2）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A₁BC₁，

∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，

∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，

∴∠ABA₁=∠CBC₁.

∴△ABA₁∽△CBC₁ 

∴.

∵S_△ABA1=4，

∴S_△CBC1=；

（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形

∴點D在線段AC上。

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。

①如圖1，當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小。最小值為：EP₁=BP₁﹣BE=BD﹣BE=.

②如圖2，當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大。最大值為：EP₁=BC+BE=5+2=7.

考點：動點的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．