【題目】在平面直角坐標系中,拋物線過點,,與軸交于點.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)若點在拋物線的對稱軸上,當的周長最小時,求點 的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點,使成為以為直角邊的直角三角形?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=;(2)(,);(3),.
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數法求出函數解析式;(2)首先求出對稱軸,求出點A關于對稱軸對稱的點E的坐標,連接CE交對稱軸與點D,則△ACD的周長最小,根據題意求出直線CE的解析式,然后得出點D的坐標;(3)分成以A為直角頂點和以C為直角頂點兩種情況分別進行計算,得出點P的坐標.
試題解析:(1)、∵拋物線過點,,
∴∴∴拋物線的函數關系式為.
(2)、∵,∴拋物線的對稱軸為直線.
設點為點關于直線的對稱點,則點的坐標為.
連接交直線于點,此時的周長最小.
設直線的函數表達式為,代入的坐標,
則解得所以,直線的函數表達式為.
當時,.∴ 點的坐標為.
(3)、存在.
①當點為直角頂點時,過點作的垂線交軸于點,交對稱軸于點.
∵,,
∴.
∵,,∴.
∴.
∴.∴.
∴點的坐標為.
設直線對應的一次函數的表達式為,代入的坐標,
則解得
所以,直線的函數表達式為.令,則.∴點的坐標為.
②當點為直角頂點時,過點作的垂線交對稱軸于點,交軸于點.
與①同理可得是等腰直角三角形,∴.
∴點的坐標為.∵,,
∴.
∴直線的函數表達式為.
令,則.∴點的坐標為.
綜上,在對稱軸上存在點,,使成為以為直角邊的直角三角形.
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【題目】如圖,已知拋物線經過原點O,頂點為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標;
(2)求證:△ABC是直角三角形;
(3)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O,M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】汽車剎車后行駛的距離s(單位:米)與行駛的時間t(單位:秒)的函數關系式是s=15t-6t2,那么汽車剎車后幾秒停下來?( )
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【題目】據探測,月球表面白天陽光垂直照射的地方溫度高達127℃,而夜晚溫度可降低到零下183℃.根據以上數據推算,在月球上晝夜溫差有( 。
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