Question

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE＝45°(A，D，E按逆時針方向)．

(1)如圖，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E．

①求證：△ABD∽△DCE；

②當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

(2)①如圖，若點D在BC的延長線上運動，DE的反向延長線與AC的延長線相交于點，是否存在點D，使△AD是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由；

②如圖，若點D在BC的反向延長線上運動，是否存在點D，使△ADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

�、僮C明：在中，∵ 　　∴∠B＝∠C＝45°又∠ADE＝45° 　　∴∠ADB＋∠EBC＝∠EBC＋∠DEC＝135° 　　∴∠ADB＝∠DEC　1分 　　∴　2分 　�、诋�(dāng)是等腰三角形時，分以下三種情況討論 　　第一種情況：DE＝AE 　　∵DE＝AE 　　∴∠ADE＝∠DAE＝45° 　　∴∠AED＝90°，此時，E為AC的中點， 　　∴AE＝AC＝1．　3分 　　第二種情況：AD＝AE(D與B重合) 　　AE＝2 　　第三種情況：AD＝AE 　　如果AD＝DE，由于， 　　∴△ABD≌△DCE， 　　∴BD＝CE，AB＝DC，設(shè)BD＝CE＝ 　　在中，∵， 　　∴BC＝，DC＝－ 　　∴－＝2，解得，＝－2， 　　∴AE＝4－2 　　綜上所述：AE的值是1，2，4－2　4分 　　(2)①存在． 　　當(dāng)D在BC的延長線上，且CD＝CA時，是等腰三角形．　5分 　　證明：∵∠ADE＝45°＝∠ACB＝∠DC， 　　∴∠ADC＋∠EDC＝∠EDC＋∠DEC＝135°， 　　∴∠ADC＝∠DEC，又CD＝CA， 　　∴∠CAD＝∠CDA， 　　∴∠CAD＝∠CED， 　　∴DA＝D， 　　∴是等腰三角形．　6分 　�、�不存在． 　　因為∠ACD＝45°＞∠E，∠ADE＝45° 　　∴∠ADE≠∠E 　　∴不可能是等腰三角形．　7分