Question

如圖，直線y=-x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，P（a，b）為雙曲線上的一點(diǎn)，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時，求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)及△EOF的面積；
（2）用含a，b的代數(shù)式表示E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)及△EOF的面積；
（3）求BE•AF的值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）
而PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)E、F在直線y=-x+1上，
當(dāng)x=時，y=-+1=，
當(dāng)y=時，=-x+1，則x=，
∴E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，）、（，）；
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴S_△OAB=×1×1=，
∴S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=-×1×-×1×=；

（2）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），0＜a≤1，且b=，
而PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b，
∵點(diǎn)E、F在直線y=-x+1上，
∴當(dāng)x=a時，y=-a+1，
當(dāng)y=b時，b=-x+1，則x=-b+1，
∴E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b）；
S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=-×1×（-b+1）-×1×（-a+1）=（a+b-1）；

（3）作EG⊥y軸于G，F(xiàn)H⊥x軸于H點(diǎn)，如圖，
∵OA=OB=1，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴△GEB、△FHA都為等腰直角三角形，
∴BE=GE，AF=FH，
而E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，
∴BE=a，AF=b，
∴BE•AF=2ab=2×=1．
分析：（1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）可得到E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，而點(diǎn)E、F在直線y=-x+1上，易確定E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，）、（，）；再求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），然后利用S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE進(jìn)行計算即可；
（2）與（1）一樣先確定E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b），再利用S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE進(jìn)行計算即可；
（3）作EG⊥y軸于G，F(xiàn)H⊥x軸于H點(diǎn)，易得△GEB、△FHA都為等腰直角三角形，則BE=GE，AF=FH，而E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，則BE=a，AF=b，
即可得到BE•AF=2ab=2×=1．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：先設(shè)反比例函數(shù)圖象上某點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)表示其它有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用面積公式建立等量關(guān)系，從而解決問題．