Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點F坐標為(4，2)，OG邊與y軸重合。將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM

與GF交于點A.

1.判斷△OGA和△NPO是否相似，并說明理由；

2.求過點A的反比例函數(shù)解析式；

3.若（2）中求出的反比例函數(shù)的圖象與EF交于B點， 請?zhí)剿鳎褐本�AB與OM的位置關(guān)系，并說明理由.

4.在GF所在直線上,是否存在一點Q,使△AOQ為等腰三角形.若存在,請直接寫出          

所有滿足要求的Q點坐標.

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵∠OGA=∠M=90°，

∠GOA=∠MON

∴△OGA∽△OMN；

2.∵AG：OP=OG：NP，∵OP=OG=2、PN=OM=OE=4，

∴AG=1

∴A（1，2）                              ………………3分

∴

3.AB⊥ OM                                ………………5分

代入得 B（4，），                       ………………6

∵AG：BF=OG：AF=2：3，∠AGO=∠BFA=90⁰

△OGA∽△AFB                              ………………7分

∴∠AOG=∠BAF   ∵∠AOG+∠OAG=90⁰

∴∠BAF+∠OAG=90⁰

∴ ∠OAB=90⁰                             

∴AB⊥OM                                  ………………8分

(其它方法酌情給分)

4.Q (1+, 2) 或Q(1－,2)                   ………………9分

Q(-1,2) 或  Q(-1.5,2)

【解析】（1）根據(jù)兩個角對應(yīng)相等，即可證明兩個三角形相似；

（2）要求反比例函數(shù)的解析式，則需求得點A的坐標，即要求得AG的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的兩個圖形全等的性質(zhì)以及相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可以求解

（3）求出B點坐標，通過△OGA∽△AFB ，求得∠OAB=90^0，從而得出結(jié)論

(4)分別有四種情況符合條件：AQ=OA (由兩種情況)，OQ=OA,QA=OQ