規(guī)定:把一次函數(shù)y=kx+b的一次項系數(shù)和常數(shù)項互換得y=bx+k,我們稱y=kx+b和y=bx+k(其中k•b≠0,且|k|≠|b|)為互助一次函數(shù),例如數(shù)學公式數(shù)學公式就是互助一次函數(shù).如圖,一次函數(shù)y=kx+b和它的互助一次函數(shù)的圖象l1,l2交于P點,l1,l2與x軸,y軸分別交于A,B點和C,D點.
(1)如圖(1),當k=-1,b=3時,
①直接寫出P點坐標:P______;
②Q是射線CP上一點(與C點不重合),其橫坐標為m,求四邊形OCQB的面積S與m之間的函數(shù)關系式,并求當△BCQ與△ACP面積相等時m的值;
(2)如圖(2),已知點M(-1,2),N(-2,0).試探究隨著k,b值的變化,MP+NP的值是否發(fā)生變化?若不變,求出MP+NP的值;若變化,求出使MP+NP取最小值時的P點坐標.
作業(yè)寶

解:(1)①∵一次函數(shù)y=kx+b和它的互助一次函數(shù)的圖象交于P點,
k=-1,b=3時,
,
解得:
∴P(1,2);           
故答案為:(1,2);
              
②如圖(1),連接OQ,
∵y=-x+3與y=3x-1的圖象l1,l2與x軸,y軸分別交于A,B點和C,D點.
∴A(3,0),B(0,3),C(,0),D(0,-1).                 
∵Q(m,3m-1),(),
∴S=S△OBQ+S△OCQ==. 
∴S△BCQ=S-S△BOC==,
而S△ACP==,
由S△BCQ=S△ACP,得 =,
解得m=; 
                            
(2)由,
解得 ,即P(1,k+b),
∴隨著k,b值的變化,點P在直線x=1上運動,MP+NP的值隨之發(fā)生變化.
如圖(2),作點N(-2,0)關于直線x=1的對稱點N′(4,0),
連接MN′交直線x=1于點P,則此時MP+NP取得最小值.
設直線MN′的解析式為y=cx+d,依題意
解得  ,
∴直線MN′的解析式為.                           
令x=1,則,
∴P(1,),
即 使MP+NP取最小值時的P點坐標為(1,).
分析:(1)①當k=-1,b=3時得到兩函數(shù)解析式,進而求出交點坐標即可;
②首先利用S=S△OBQ+S△OCQ=,得出S△BCQ=S-S△BOC=,再利用S△ACP=,
由S△BCQ=S△ACP,得 =,進而得出答案;
(2)作點N(-2,0)關于直線x=1的對稱點N′(4,0),連接MN′交直線x=1于點P,則此時MP+NP取得最小值,進而得出直線MN′的解析式求出P點坐標即可.
點評:此題主要考查了一次函數(shù)綜合以及利用軸對稱求最短路徑問題和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識,利用新定義理解互助一次函數(shù)定義是解題關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

我市某工藝廠為配合奧運會,設計了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場進行試銷.經(jīng)過調查,得到如下數(shù)據(jù):

銷售單價x(元/件)

……

30

40

50

60

……

每天銷售量y(件)

……

500

400

300

200

……

(1)把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標,在下面的平面直角坐標系中描出相應的點,猜想yx的函數(shù)關系,并求出函數(shù)關系式;

(2)當銷售單價定為多少時,工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?(利潤=銷售總價-成本總價)

(3)當?shù)匚飪r部門規(guī)定,該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件,那么銷售單價定為多少時,工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大?

分析 (1)從表格中的數(shù)據(jù)我們可以看出當x增加10時,對應y的值減小100,所以yx之間可能是一次函數(shù)的關系,我們可以根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)這些點在一條直線上,所以yx之間是一次函數(shù)的關系,然后設出一次函數(shù)關系式,求出其關系式.

(2)利用二次函數(shù)的知識求最大值.

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科目:初中數(shù)學 來源:2013屆山東青島市八年級下學期期末考試數(shù)學卷(解析版) 題型:解答題

某長途汽車站規(guī)定,乘客可以免費攜帶一定質量的行李,若超過該質量則需購買行李票,且行李票(元)與行李質量(千克)間的一次函數(shù)關系式為,現(xiàn)知貝貝帶了60千克的行李,交了行李費5元。

(1)若京京帶了84千克的行李,則該交行李費多少元?

(2)旅客最多可免費攜帶多少千克的行李?

【解析】把x=60,y=5代入里待定系數(shù)法求解即可得到解析式,再把x=84代入求解即可;令y=0,即可求得旅客最多可免費攜帶30千克行李

 

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