Question

矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是對角線BD上不重合的兩點，點P關于直線AD，AB的對稱點分別是點E、F，點Q關于直線BC、CD的對稱點分別是點G、H．若由點E、F、G、H構成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長為　   　．

Answer 1

2.8。

由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得對角線AC=BD=5。
依題意畫出圖形，如圖所示。

由軸對稱性質(zhì)可知，
∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°。
∴點A在菱形EFGH的邊EF上．同理可知，點B、C、D均在菱形EFGH的邊上。
∵AP=AE=AF，∴點A為EF中點．同理可知，點C為GH中點。
連接AC，交BD于點O，則有AF=CG，且AF∥CG，
∴四邊形ACGF為平行四邊形。
∴FG=AC=5，即菱形EFGH的邊長等于矩形ABCD的對角線長。
∴EF=FG=5。
∵AP=AE=AF，∴AP=EF=2.5。
∵OA=AC=2.5，∴AP=AO，即△APO為等腰三角形。
過點A作AN⊥BD交BD于點N，則點N為OP的中點。
由S_△ABD=AB•AD=AC•AN，可求得：AN=2.4。
在Rt△AON中，由勾股定理得：，∴OP=2ON=1.4。
同理可求得：OQ=1.4。
∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8�！�