如圖,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直線BC翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,頂點(diǎn)M在直線BC上.

(1)證明四邊形ABCD是菱形,并求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和函數(shù)表達(dá)式;

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PBD與△PCD的面積相等?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

解:(1)證明:∵A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),

∴AB=6+4=10,!郃B=AC。

由翻折可得,AB=BD,AC=CD。∴AB=BD=CD=AC。∴四邊形ABCD是菱形。

∴CD∥AB。

∵C(0,8),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(10,8)。

(2)∵y=ax2﹣10ax+c,∴對(duì)稱(chēng)軸為直線

設(shè)M的坐標(biāo)為(5,n),直線BC的解析式為y=kx+b,

,解得

∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8。

∵點(diǎn)M在直線y=﹣2x+8上,∴n=﹣2×5+8=﹣2。

∴M(5,,-2).

又∵拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和M,

,解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。

(3)存在。點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1),P2(﹣5,38)

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)勾股定理,翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC,根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)。

(2)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,設(shè)M的坐標(biāo)為(5,n),直線BC的解析式為y=kx+b,根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

(3)分點(diǎn)P在CD的上面下方和點(diǎn)P在CD的上方兩種情況,根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo):

設(shè)P,

當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面下方,根據(jù)菱形的性質(zhì),知點(diǎn)P是AD與拋物線的交點(diǎn),由A,D的坐標(biāo)可由待定系數(shù)法求出AD的函數(shù)表達(dá)式: ,二者聯(lián)立可得P1);

當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面上方,易知點(diǎn)P是∠D的外角平分線與拋物線的交點(diǎn),此時(shí),∠D的外角平分線與直線AD垂直,由相似可知∠D的外角平分線PD的斜率等于-2,可設(shè)其為,將D(10,8)代入可得PD的函數(shù)表達(dá)式: ,與拋物線聯(lián)立可得P2(﹣5,38)。

 

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(1)所畫(huà)的三角形與△ABC全等,且有一條公共邊;

(2)所畫(huà)的三角形與△ABC全等,且有一個(gè)公共頂點(diǎn);

(3)所畫(huà)的三角形與△ABC全等,且有一個(gè)公共角;

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(8,3)
(8,3)
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10
2
π
10
2
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(2)△ABC的面積=
8
8
;
(3)若AC的長(zhǎng)約為7.2,則AC邊上的高為
2
2
;(結(jié)果保留整數(shù))

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