Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+4m-8
（1）當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．
（2）以拋物線y=x²-2mx+4m-8的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMN（M，N兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問(wèn)：△AMN的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若拋物線y=x²-2mx+4m-8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=m，由于拋物線的開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可以求出m的取值范圍．
（2）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長(zhǎng)，然后計(jì)算三角形的面積，得到△AMN的面積是m無(wú)關(guān)的定值．
（3）當(dāng)y=0時(shí)，求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后確定整數(shù)m的值．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=x²-2mx+4m-8的對(duì)稱軸是：x=m．
∵當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，
而x≤2應(yīng)在對(duì)稱軸的左邊，
∴m≥2．

（2）如圖：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-m²+4m-8）
△AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，
MN交對(duì)稱軸于點(diǎn)B，tan∠AMB=tan60°=

AB

BM

=

3

，
則AB=

3

BM=

3

BN，
設(shè)BM=BN=a，則AB=

3

a，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m+a，

3

a-m²+4m-8），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴

3

a-m²+4m-8=（m+a）²-2m（m+a）+4m-8，
整理得：a²-

3

a=0
得：a=

3

（a=0舍去）
所以△AMN是邊長(zhǎng)為2

3

的正三角形，
S_△AMN=

1

2

×2

3

×3=3

3

，與m無(wú)關(guān)；

（3）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2mx+4m-8=0，
解得：x=m±

m2-4m+8

=m±

(m-2)2+4

，
∵拋物線y=x²-2mx+4m-8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，
∴（m-2）²+4應(yīng)是完全平方數(shù)，
∴m的最小值為：m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸確定m的取值范圍．（2）由點(diǎn)M在拋物線上，求出正三角形的邊長(zhǎng)，計(jì)算正三角形的面積．（3）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，確定整數(shù)m的值．