Question

（2011•岳池縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1．-

9

2

），此拋物線交y軸于B（0，-4），交x軸于A、C兩點(diǎn)且A點(diǎn)在C點(diǎn)左邊．
（1）求拋物線解析式及A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）如果點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且它的橫坐標(biāo)為m，設(shè)△AMB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置使得以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出拋物線解析式，根據(jù)題意拋物線交y軸于B（0，-4），求出拋物線解析式，再根據(jù)拋物線的特點(diǎn)求出它的橫坐標(biāo)，即可求出A和C的坐標(biāo)；
（2）先作MT⊥x軸于T，再設(shè)M（m，n），得出AT、MT、TO、BO的值，即可得出S_AMBO的值，再根M點(diǎn)在拋物線上，求出S_AMBO的值，然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，得出拋物線開(kāi)口向下，即可求出S的最大值；
（3）根據(jù)（2）的相應(yīng)的條件，可以直接得出點(diǎn)此時(shí)Q的坐標(biāo)；

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為：
∵拋物線交y軸于B（0，-4）
∴a-

9

2

=-4，
∴a=

1

2

∴拋物線解析式為：
y=

1

2

(x+1)2-

9

2

或y=

1

2

x2+x-4
令y=0得：

1

2

x2+x-4=0，
解得：x₁=-4，x₂=2
∴A（-4，0），C（2，0）；

（2）作MT⊥x軸于T，設(shè)M（m，n），
則AT=m+4，MT=-n，TO=-m，BO=4．
∴S_AMBO=

1

2

(m+4)(-n)+

1

2

(-n+4)(-m)=-2m-2n
∵M(jìn)（m，n）在拋物線上，
∴n=

1

2

m2+m-4
∴S_AMBO=-2m-2(

1

2

m2+m-4)=-m2-4m+8
∵S_△AOB=

1

2

×4×4=8，
∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為：S=-m²-4m
∵S為m的二次函數(shù)且-1＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，
∴S的最大值為-

(-4)2+4(-1)•0

4(-1)

=4；

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，
所以相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：有兩個(gè)位置滿足條件，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4），（-4，-4）．
設(shè)p（a，0.5x²+x-4），則Q（a，-a）
那么PQ=OB=4，
∴0.5x²+x-4-（-a）=4，
解得a=-2+

5

或a=-2-

5

（舍去），
∴Q（-2+

5

，2-

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．