Question

如圖，在菱形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，DE與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于點(diǎn)F，∠1=∠2．
求證：（1）DE⊥BC；
（2）AM=DE+MF．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠ACD，AB∥CD．
∴∠1=∠ACD．
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2．
∴MC=MD．
∵M(jìn)F⊥CD，
∴∠CFM=90°，CF=CD．
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE=BC．
∴CF=CE．
∵CM=CM，
∵在△CFM和△CEM中，
，
∴△CFM≌△CEM（SAS）．
∴∠CEM=∠CFM=90°，
即DE⊥BC．

（2）延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)N，
∵AB∥CD，CE=BE，
∴NE=DE，∠N=∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠N．
∴AM=MN．
∵NM=NE+ME，
∴AM=DE+ME．
∵M(jìn)E=MF，
∴AM=DE+MF．
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊可以證得△CMD是等腰三角形，則依據(jù)三線合一定理可得CF=CD，然后可以證得△CFM≌△CEM，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得；
（2）延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)N，利用等角對(duì)等邊證明AM=MN，然后根據(jù)DE=NE即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵．