Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且x₁＜x₂，連接BC，AC．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)M在第一象限的拋物線上，當(dāng)△MBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）連接PC，
∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)C
∴PC⊥y軸，
過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，

x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，
解得：x₁=2，x₂=8，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），
∵PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AE=3，BE=3，
∴OE=5，PC=PA=5，
在Rt△APE中，PE==4，
故可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），
過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），
將點(diǎn)C（0，-4）代入可得：-4=a（0-2）（0-8），
解得：a=-，
故拋物線解析式為y=-（x-2）（x-8）=-x²+x-4．

（2）存在．
連接BC，則BC與對(duì)稱軸交點(diǎn)即是點(diǎn)Q的位置，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入可得：，
解得：，
故直線BC的解析式為y=x-4，
拋物線的對(duì)稱軸為x=-=5，
將x=5代入直線BC解析式可得：y=-，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，-）．

（3）設(shè)平行BC且經(jīng)過點(diǎn)M的直線解析式為y=x+m，
聯(lián)立直線與拋物線可得：x+m=-x²+x-4，即-x²+2x-4-m=0，
△=4-4×（-）×（-4-m）=0，
解得：m=0，
則-x²+2x-4-m=0，可化為：-x²+2x-4=0，
解得：x=4，
將x=4代入直線解析式可得：y=2，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，2）．
分析：（1）連接PC，則PC⊥y軸，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，分別求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）利用軸對(duì)稱求最短路徑的知識(shí)，可得連接BC，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q的位置，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；
（3）經(jīng)過點(diǎn)M且與BC平行的直線，當(dāng)這條直線與拋物線相切時(shí)，點(diǎn)M到BC的距離最大，即此時(shí)△MBC的面積最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元二次方程的解、垂徑定理及三角形的面積，考察的知識(shí)點(diǎn)較多，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．