Question

【題目】小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：

問題情境：（1）如圖1，四邊形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；(表示面積)

問題遷移：（2）如圖2：在已知銳角內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn).過點(diǎn)任意作一條直線分別交射線于點(diǎn).小明將直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，的面積存在最小值，請(qǐng)問當(dāng)直線在什么位置時(shí)，的面積最小，并說明理由．

實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖3，若在道路之間有一村莊發(fā)生疫情，防疫部門計(jì)劃以公路和經(jīng)過防疫站的一條直線為隔離線，建立個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū)，若測(cè)得試求的面積．(結(jié)果保留根號(hào))(參考數(shù)據(jù)：)

拓展延伸：（4）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，過點(diǎn)的直線與四邊形一組對(duì)邊相交，將四邊形分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)最小；（3）；（4）10．

【解析】

（1）根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE＝S△FCE就可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S△MON最小，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；

（3）如圖3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1，M1，再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論；

（4）分情況討論當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長(zhǎng)OC、AB交于點(diǎn)D，由條件可以得出AD＝6，就可以求出△OAD的面積，再根據(jù)問題遷移的結(jié)論就可以求出最大值；
當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N，延長(zhǎng)CB交x軸于T，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標(biāo)，從而求出△OCT的面積，再由問題遷移的結(jié)論可以求出最大值，通過比較就可以求出結(jié)論．

（1）證明：，

點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，

，

，

，

即

（2）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，最小，如圖2，

過點(diǎn)的另一條直線交于點(diǎn)，

設(shè)，過點(diǎn)作交于，

由問題情境可以得出當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)．

，

，

當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，最小

（3）如圖3，作，垂足分別為，

在中，

，

．

由問題遷移的結(jié)論知道，

當(dāng)時(shí)，的面積最小，

．

在中，

，

，

（4）①如圖4，當(dāng)過點(diǎn)的直線與四邊形的一組對(duì)邊分別交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，

，

，

，

由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，的面積最小，

四邊形的面積最大．

作垂足分別為，

點(diǎn)為中點(diǎn)

，

②如圖5，當(dāng)過點(diǎn)的直線與四邊形的另一組對(duì)邊分別交延長(zhǎng)交軸于，

，，

設(shè)直線的解析式為，由題意，得

，解得

，

當(dāng)時(shí)，，

由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，的面積最小，

四邊形的面積最大．

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

綜上所述：截得四邊形面積的最大值為．