Question

如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，
（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．

Answer 1

（1）∠CMQ=60°不變．
∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由條件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=

4

3

；
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=

8

3

；
∴當(dāng)?shù)?span mathtag="math" >

4

3

秒或第

8

3

秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．

（3）∠CMQ=120°不變．
∵在等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由條件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°