如圖,在等邊△ABC中,AB=3,D、E分別是AB、AC上的點,且DE∥BC,將△ADE沿DE翻折,與梯形BCED重疊的部分記作圖形L.

(1)求△ABC的面積;

(2)設(shè)AD=x,圖形L的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(3)已知圖形L的頂點均在⊙O上,當(dāng)圖形L的面積最大時,求⊙O的面積.

 

【答案】

解:(1)如圖1,作AH⊥BC于H,則∠AHB=90°。

∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC=3。

∵∠AHB=90°,∴BH=BC=。

在Rt△ABH中,由勾股定理,得AH=。

。

(2)如圖2,當(dāng)0<x≤時,

作AG⊥DE于G,∴∠AGD=90°,∠DAG=30°。

∴DG=x,AG=。

。

如圖3,當(dāng)<x<3時,作MG⊥DE于G,

∵AD=x,∴BD=DM=3-x,

∴DG=,MF=MN=2x-3,MG=

。

綜上所述,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為。

 (3)當(dāng)0<x≤時,

∵a=>0,開口向上,在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大,

∴x=時,

當(dāng)<x<3時,

∵a=<0,開口向下,∴x=2時,

,∴y最大時,x=2。

∴DE=2,BD=DM=1。

如圖4,作FO⊥DE于O,連接MO,ME,

∴DO=OE=1�!郉M=DO。

∵∠MDO=60°,∴△MDO是等邊三角形。

∴∠DMO=∠DOM=60°,MO=DO=1。

∴MO=OE,∠MOE=120°。

∴∠OME=30°�!唷螪ME=90°。

∴DE是直徑。

。

【解析】(1)作AH⊥BC于H,根據(jù)勾股定理就可以求出AH,由三角形的面積公式就可以求出其值。

(2)如圖1,當(dāng)0<x≤1.5時,由三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,如圖2,當(dāng)1.5<x<3時,重疊部分的面積為梯形DMNE的面積,由梯形的面積公式就可以求出其關(guān)系式。

(3)如圖4,根據(jù)(2)的結(jié)論可以求出y的最大值從而求出x的值,作FO⊥DE于O,連接MO,ME,求得∠DME=90°,就可以求出⊙O的直徑,由圓的面積公式就可以求出其值。

 

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A、81
3
B、
81
3
2
C、
81
3
4
D、
81
3
8

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