Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，以線段EF的中點(diǎn)G為圓心，以EF為直徑作⊙G，當(dāng)⊙G最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）或

【解析】

（1）首先根據(jù)題意得出C，B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）分別利用第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：（1）由A（4，0），可知OA＝4，

∵OA＝OC＝4OB，

∴OA＝OC＝4，OB＝1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

設(shè)拋物線的解析式是y＝ax2+bx+c，

則，

解得：，

則拋物線的解析式是：y＝﹣x2+3x+4；

（2）存在．

第一種情況，如圖1，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．

過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP1＝90°，

∴∠MCP1+∠ACO＝90°．

∵∠ACO+∠OAC＝90°，

∴∠MCP1＝∠OAC．

∵OA＝OC，

∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，

∴∠MCP1＝∠MP1C，

∴MC＝MP1，

設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），則m＝﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1＝0（舍去），m2＝2．

∴﹣m2+3m+4＝6，

即P（2，6）．

第二種情況，如圖1，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP2，AC交拋物線于點(diǎn)P2，

過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F．

∴P2N∥x軸，

由∠CAO＝45°，

∴∠OAP＝45°，

∴∠FP2N＝45°，AO＝OF．

∴P2N＝NF，

設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），則n＝（﹣n2+3n+4）+4，

解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去），

∴﹣n2+3n+4＝﹣6，

則P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）如圖2，連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF．

根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4，

則AC＝＝4，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)．

又∵DF∥OC，

∴DF＝OC＝2，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2．

則﹣x2+3x+4＝2，

解得：x＝，

∴當(dāng)EF最短時(shí)，圓最�。�點(diǎn)P的坐標(biāo)是：或．