【題目】如圖,∠ABC=90°,D、E分別在BC、AC上,ADDE,且ADDE,點FAE的中點,FD、AB的延長線相交于點M,連接MC

(1)求證:∠FMC=∠FCM;

(2)將條件中的ADDE(1)中的結論互換,其他條件不變,命題是否正確?請給出理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)(2)正確.理由見解析.

【解析】

(1)根據等腰直角三角形的性質,得出DF⊥AE,DF=AF=EF,再證明△DFC≌△AFM,得出FC=FM;

(2)根據等腰三角形的判定,得出FM=FC,再根據等腰三角形的性質,可得MF⊥AC,進而證得△AMF≌△DCF(ASA),最后由全等三角形的性質和直角的關系可證.

(1)證明:∵AD=DE,點FAE的中點,

∴MF⊥AC,∴∠AMF+∠MAF=90°.

∵∠ABC=90°,∴∠ACB+∠MAF=90°,

∴∠AMF=∠ACB.

∵AD⊥DE,AD=DE,

∴△ADE為等腰直角三角形,∠DAF=45°.

又∵MF⊥AC,∴∠DFA=90°,

∴∠ADF=180°-∠DFA-∠DAF=45°,

∴∠ADF=∠DAF,∴FA=FD.

在△FAM和△FDC中,

∠AMF=∠DCF,∠AFM=∠DFC,F(xiàn)A=FD,

∴△FAM≌△FDC(AAS),

∴FM=FC,∴∠FMC=∠FCM.

(2)解:正確.理由如下:∵∠FMC=∠FCM,∴FM=FC.

∵AD=DE,點FAE的中點,∴MF⊥AC,

∴∠AFM=∠DFC=90°,∠AMF+∠MAC=90°.

又∵∠MAC+∠DCF=90°,

∴∠AMF=∠DCF.

在△AMF和△DCF中,

∠AMF=∠DCF,F(xiàn)M=FC,∠AFM=∠DFC,

∴△AMF≌△DCF(ASA),

∴AF=DF.

又∵∠AFD=90°,∴∠DAF=∠ADF=45°.

又∵AD=DE,∴∠DEA=∠DAF=45°,

∴∠ADE=180°-∠DAF-∠DEA=90°,

∴AD⊥DE.

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