Question

【題目】在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在CD上（與點C，D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QM⊥BD于M，連接AM，PM（如圖1）．

（1）判斷AM與PM的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；

（2）若點P在線段CD的延長線上，其它條件不變（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM=PM，AM⊥PM．（2）成立，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）先判斷出△DMQ是等腰直角三角形，再判斷出△MDP≌△MQC（SAS），最后進行簡單的計算即可；

（2）先判斷出△DMQ是等腰直角三角形，再判斷出△MDP≌△MQC（SAS），最后進行簡單的計算即可．

試題解析：（1）連接CM，

∵四邊形ABCD是正方形，QM⊥BD，

∴∠MDQ=45°，

∴△DMQ是等腰直角三角形．

∵DP=CQ，

在△MDP與△MQC中

∴△MDP≌△MQC（SAS），

∴PM=CM，∠MPC=∠MCP．

∵BD是正方形ABCD的對稱軸，

∴AM=CM，∠DAM=∠MCP，

∴∠AMP=180°-∠ADP=90°，

∴AM=PM，AM⊥PM．

（2）成立，

理由如下：

連接CM，

∵四邊形ABCD是正方形，QM⊥BD，

∴∠MDQ=45°，

∴△DMQ是等腰直角三角形．

∵DP=CQ，

在△MDP與△MQC中

∴△MDP≌△MQC（SAS），

∴PM=CM，∠MPC=∠MCP．

∵BD是正方形ABCD的對稱軸，

∴AM=CM，∠DAM=∠MCP，

∴∠DAM=∠MPC，

∵∠PND=∠ANM

∴∠AMP=∠ADP=90°

∴AM=PM，AM⊥PM．