Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），且與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：b= ，c= ，直線AC的解析式為 ；

（2）直線x=t與x軸相交于點(diǎn)H．

①當(dāng)t=﹣3時(shí)得到直線AN（如圖1），點(diǎn)D為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，若∠COD=∠MAN，求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時(shí)（如圖2），直線x=t與線段AC，AM和拋物線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，P．試證明線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值為，求此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）2，﹣3，y=﹣x﹣3；（2）①D（，）；②t=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)列出關(guān)于b、c的方程組求解可得，由拋物線解析式求得A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AC解析式；

（2）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，），由∠COD=∠MAN得tan∠COD=tan∠MAN，列出關(guān)于m的方程求解可得；②求出直線AM的解析式，進(jìn)而可用含t的式子表示出HE、EF、FP的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰三角形定義即可判定；由等腰三角形底角的余弦值為可得=，列方程可求得t的值．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），∴，解得：，∴拋物線解析式為：，令y=0，得：，解得：，，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x=0，得y=﹣3，∴C（0，﹣3），設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3；故答案為：2，﹣3，y=﹣x﹣3．

（2）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，），∵∠COD=∠MAN，∴tan∠COD=tan∠MAN，∴，解得：m=，∵﹣3＜m＜0，∴m=，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；

②設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)A（﹣3，0）、M（﹣1，﹣4）代入，得：，解得：，∴直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，∵當(dāng)x=t時(shí)，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=，∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=，∵HE+EF﹣FP==＞0，∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，∴當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時(shí)，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形；

由題意得：=，即=，整理得：，解得：， ，∵﹣3＜t＜﹣1，∴t=．