Question

【題目】如圖，直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線AB上方拋物線上的點(diǎn)D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將△BOC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請求點(diǎn)B1的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）D（﹣2，3）;（3）B1的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣3，2）．

【解析】

當(dāng)x＝0時(shí)，當(dāng)y＝0時(shí)求出A，B點(diǎn)在代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c，即可求解.

取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（0，﹣2），連接AB′，過點(diǎn)B作BD∥AB′交拋物線于點(diǎn)D，因?yàn)?/span>B、B′關(guān)于x軸對稱，所以AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，設(shè)AB′：y＝kx﹣2，代入A點(diǎn)求出k值，則，再由直線BD和拋物線交于點(diǎn)D列方程組求出，再根據(jù)象限即可求解.

因?yàn)?/span>△BOC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所以∥x軸，∥y軸，分類討論當(dāng)B1、O1在拋物線上時(shí)和當(dāng)B1、C1在拋物線上時(shí)兩種情況.

解：（1）y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，2），

把A、B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，得，

解得，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+2；

（2）取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（0，﹣2），連接AB′，過點(diǎn)B作BD∥AB′交拋物線于點(diǎn)D，

∵B、B′關(guān)于x軸對稱，

∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，

設(shè)AB′：y＝kx﹣2，

代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣，

則BD：y＝﹣x+2，

解得，，

∴D（﹣2，3）．

（3）∵△BOC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

∴B1O1∥x軸，O1C1∥y軸，

當(dāng)B1、O1在拋物線上時(shí)，設(shè)B1的橫坐標(biāo)為x，則O1的橫坐標(biāo)為x+2，

∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，

解得x＝﹣，

則B1（﹣，）；

當(dāng)B1、C1在拋物線上時(shí)，設(shè)B1的橫坐標(biāo)為x，則C1的橫坐標(biāo)為x+2，

C1的縱坐標(biāo)比B1的縱坐標(biāo)大1，

∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，

則B1（﹣3，2），

∴B1的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣3，2）．