Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根就是證明其判別式永遠(yuǎn)都是一個(gè)正數(shù)；
（2）首先根據(jù)一元二次方程的求根公式求出方程的兩個(gè)根，然后可以求出|x₁-x₂|=3，再利用已知條件即可得到關(guān)于m的方程，解方程即可解決問題．
解答：（1）證明：∵△=[-（2m+1）]²-4（m²+m-2）=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9＞0
∴不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；

解：（2）由原方程可得x=
∴x₁=m+2．x₂=m-1，
∴|x₁-x₂|=3，
又∵，
∴，
∴m=4
經(jīng)檢驗(yàn)：m=4符合題意．
∴m的值為4．
點(diǎn)評：此題有一定的綜合性，主要考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，利用求根公式正確求得方程的根是解題關(guān)鍵．