Question

【題目】若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞�”，已知拋物線C1：y1=﹣x2+ax+b與拋物線C2：y2=2x2+4x+6為“友好拋物線”，拋物線C1與x軸交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B．

（1）求拋物線C1的表達(dá)式．
（2）若F（t，0）（﹣3＜t＜0）是x軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線與點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．

①是否存在點(diǎn)F，使PE+PD的值最大，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)正方形APMN中的邊MN與y軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y2=2x2+4x+6=2（x+1）2+4，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），

∵知拋物線C1：y1=﹣x2+ax+b與拋物線C2：y2=2x2+4x+6為“友好拋物線”，

∴頂點(diǎn)相同，拋物線C1的解析式為y1=﹣（x+1）2+4，

即y1=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：①由題意易知A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，PE+PD的值越大，

易得直線AB的解析式為y=x+3，

設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，

聯(lián)立 ，

消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，

當(dāng)△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，

即m= 時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，

此時(shí)x=﹣ ，y=﹣ + = ，

∴點(diǎn)P（﹣ ， ）時(shí)，PD+PE的值最大，

此時(shí)t=﹣ ．

②拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為直線x=﹣ =﹣1，

（i）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，

∴∠APF=∠QPM，

∵在△APF和△MPQ中，

，

∴△APF≌△MPQ（AAS），

∴PF=PQ，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t＜0），則PQ=﹣t，

即PF=﹣t，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t），

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣t2﹣2t+3=﹣t，

整理得，t2+t﹣3=0，

解得t1= （舍去），t2= ，

（ii）如圖2，點(diǎn)N在y軸上時(shí)，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，

∴∠FPA=∠QAN，

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，

∴△APF≌△NAO，

∴PF=AO，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為P（t，3），

則有﹣t2﹣2t+3=3，解得x=﹣2或0，

觀察圖象可知，當(dāng)正方形APMN中的邊MN與y軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為 ≤t≤﹣2

【解析】（1）求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；（2）①首先證明△PDE是等腰直角三角形，可知PD越大，PE+PD的值越大，易得直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，聯(lián)立 ，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，當(dāng)△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m= 時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，由此即可解決問(wèn)題；②分兩種情形（i）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，（ii）如圖2，點(diǎn)N在y軸上時(shí)，分別求解即可；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形和二次函數(shù)的圖象，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)才能得出正確答案．