Question

已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點．
（1）求菱形ABCD的面積．
（2）求PM+PN的最小值．

Answer 1

解：（1）∵菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，
∴菱形ABCD的面積為：×6×8=24；

（2）作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，
連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M為BC中點，
∴Q為AB中點，
∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴PM+PN的最小值為：5．
分析：（1）利用菱形ABCD的兩條對角線乘積的一半等于菱形面積求出即可；
（2）利用已知得出四邊形BQNC是平行四邊形，則NQ=BC，再利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出MP+NP=QP+NP=QN的值．
點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，熟練根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．