Question

點(diǎn)A（-1，0）B（4，0）C（0，2）是平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn)．
①如圖1，先過A、B、C作△ABC，然后在在x軸上方作一個(gè)正方形D₁E₁F₁G₁，使D₁E₁在AB上，F(xiàn)₁、G₁分別在BC、AC上；
②如圖2，先過A、B、C作圓⊙M，然后在x軸上方作一個(gè)正方形D₂E₂F₂G₂，使D₂E₂在x軸上，F(xiàn)₂、G₂在圓上；
③如圖3，先過A、B、C作拋物線l，然后在x軸上方作一個(gè)正方形D₃E₃F₃G₃，使D₃E₃在x軸上，F(xiàn)₃、G₃在拋物線上．
請(qǐng)比較正方形D₁E₁F₁G₁，正方形D₂E₂F₂G₂，正方形D₃E₃F₃G₃的面積大小．

Answer 1

【答案】分析：①如圖1，設(shè)正方形的邊長為a．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于a的方程，求得a的值，再根據(jù)正方形的面積公式求解；
②如圖2，設(shè)正方形的邊長為b．根據(jù)勾股定理的逆定理可得AB是⊙M的直徑，根據(jù)垂徑定理可得關(guān)于b的方程，求得b的值，再根據(jù)正方形的面積公式求解；
③如圖3，設(shè)正方形的邊長為c．根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式，由軸對(duì)稱可知F₃（+，c），代入拋物線的解析式可得關(guān)于c的方程，求得c的值，再根據(jù)正方形的面積公式求解．
再將三個(gè)正方形的面積進(jìn)行比較即可求解．
解答：解：①如圖1，設(shè)正方形的邊長為a．
由△CG₁F₁∽△CAB得=，
解得a=，
則正方形D₁E₁F₁G₁的面積=；
②如圖2，設(shè)正方形的邊長為b．
∵點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙M的直徑，
過M點(diǎn)作MN⊥F₂G₂，由垂徑定理得（）²+b²=（）²，
解得b²=5，即正方形D₂E₂F₂G₂的面積=5；
③如圖3，設(shè)正方形的邊長為c．
∵過A、B、C作拋物線l，設(shè)拋物線方程為y=ax²+bx+c，則
，
解得．
故拋物線方程為y=-x²+x+2，
由軸對(duì)稱可知F₃（+，c），代入得-×（+）²+×（+）+2=c，
解得c=-4，
∴正方形D₃E₃F₃G₃的面積=57-8．
∵＜5＜57-8，
∴正方形D₁E₁F₁G₁的面積＜正方形D₂E₂F₂G₂的面積＜正方形D₃E₃F₃G₃的面積．
點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，垂徑定理，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形的面積公式及面積的大小比較，綜合性較強(qiáng)．