Question

（2013•來(lái)賓）在△AOB中，∠AOB=90°，AO=6厘米，BO=8厘米，分別以O(shè)B和OA所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始沿AO方向以2厘米/秒的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O開(kāi)始沿OB方向以4厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)（其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨即停止移動(dòng)）．
（1）求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，四邊形AMNB的面積最��？并求出四邊形AMNB面積的最小值；
（3）在點(diǎn)M和點(diǎn)N移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M 和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出解析式；
（2）設(shè)四邊形AMNB的面積為S，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，再由其解析式就可以求出結(jié)論；
（3）分類討論，當(dāng)△OMN∽△OAB和△ONM∽△OAB時(shí)分別求出t的值就可以求出M、N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AO=6厘米，BO=8厘米，
∴A（0，6），B（8，0）．
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，由題意，得

6=b 0=8k+b

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）設(shè)四邊形AMNB的面積為S，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，由題意，得
AM=2t，ON=4t，
∴OM=6-2t，
∴S_△OMN=

1

2

（6-2t）•4t=-4t²+12t．
∴S=

1

2

×6×8-（-4t²+12t），
=24+4t²-12t，
=4（t-

3

2

）²+15．
∵a=4＞0，
∴拋物線的開(kāi)口向上，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S_最小=15．
答：當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)

3

2

秒時(shí)，四邊形AMNB的面積最小，最小值為15厘米²；

（3）當(dāng)△OMN∽△OAB時(shí)，
∴

OM

OA

=

ON

OB

，
∴

6-2t

6

=

4t

8

，
∴t=

6

5

．
∴OM=6-2×

6

5

=

18

5

，ON=4×

6

5

=

24

5

，
∴M（0，

18

5

），N（

24

5

，0）；
當(dāng)△ONM∽△OAB時(shí)，
∴

ON

OA

=

OM

OB

，
∴

4t

6

=

6-2t

8

，
∴t=

9

11

．
∴OM=6-2×

9

11

=

48

11

，ON=4×

9

11

=

36

11

，
∴M（0，

48

11

），N（

36

11

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．