Question

如圖：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D、E、F，若三角形三邊長分別記為BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓半徑記為r，現(xiàn)有小明和小華對半徑進行計算，小明計算結(jié)果為r=

a+b-c

2

，小華計算結(jié)果為r′=

ab

a+b+c

，由此兩人產(chǎn)生爭議．請問這兩個答案是否都正確，如正確請結(jié)合圖形說明理由，如不正確也請說明理由．

Answer 1

分析：利用切線長定理以及正方形判定即可得出BF+AF=AB=c，（a-r）+（b-r）=c，進而得出答案，再利用三角形面積分割法求出內(nèi)切圓半徑即可．

解答：解：小明和小華回答都正確…（1分），
分別連接OA、OB、OC、OD、OE、OF…（1分），
∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D、E、F為切點，
∴CD=CE，AE=AF，BD=BF，∠OEC=∠ODC=Rt∠，
∵∠C=Rt∠，CD=CE，
∴四邊形CDOE是正方形，
∴CD=CE=r，AE=b-r=AF，BD=a-r=BF，
∵BF+AF=AB=c，
∴（a-r）+（b-r）=c，
∴r=

a+b-c

2

小明正確…（4分），
∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D、E、F為切點，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，
∴S_△ABC=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB=

1

2

BC•DO+

1

2

AC•OE+

1

2

AB•FO，
=

1

2

（BC+AC+AB）•OD，
=

1

2

（a+b+c）r，
∵∠C=Rt∠，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

ab，
∴

1

2

(a+b+c)•r=

1

2

ab，
即r′=

ab

a+b+c

小華正確…（4分）．

點評：此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心以及直角三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是，充分利用已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為求幾個三角形面積的和．