Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，CG⊥DE于G，BG延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，CG延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)H，交AB于N.下列結(jié)論：①DE=CN；②；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( )

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)題目已知證明可判斷①正確；證明可判斷②正確；過(guò)H點(diǎn)作，利用，求解即可判斷③正確；添加輔助線過(guò)B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延長(zhǎng)線于E，利用△BNC≌△CED，證得△BPN≌△BQE，即可判斷④正確；連接N，E，設(shè),則,,利用勾股定理求出CN，CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)的面積求出GE，GN，再證，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求出BG，BF的長(zhǎng)，即可得⑤正確．

解：①∵在正方形ABCD中，，,

∴

即：

∴（ASA）

∴CN= DE，故①正確；

②∴在正方形ABCD中， ，

∴，

∴，

∵，E為BC的中點(diǎn)， 四邊形ABCD是正方形

∴，

∴，故②正確；

③如下圖示，過(guò)H點(diǎn)作，

∴根據(jù)，有，

則：

∴，

即是：，故③正確 ；

④過(guò)B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延長(zhǎng)線于E，

∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四邊形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四邊形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，故④正確；

⑤如圖示，連接N，E

設(shè),則,,

∵CG⊥DE，

∴，

，

由的面積可得：

化簡(jiǎn)得：，

∴，

則有：

∴ ，

∵，

∴，

∴，

∴，

則，

，

并∵

∴

∴，故⑤正確．

綜上所述，故選：D．