Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，剪掉陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體包裝盒．

（1）若折疊后長(zhǎng)方體底面正方形的面積為1250cm2 ， 求長(zhǎng)方體包裝盒的高；
（2）設(shè)剪掉的等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為x（cm），長(zhǎng)方體的側(cè)面積為S（cm2），求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時(shí)，S的值最大．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖

設(shè)剪掉陰影部分的每個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為xcm，則NP= xcm，

DP= ，QM=PW= × ，

由題意得： ．

解得， （超過(guò)60，故不符合題意舍去），

答：長(zhǎng)方體包裝盒的高為5 cm．

另法：∵由已知得底面正方形的邊長(zhǎng)為 =25 ，

∴AN=25 × =25．

∴PN=60﹣25×2=10．

∴PQ=10× =5 （cm）．

答：長(zhǎng)方體包裝盒的高為5 cm．

（2）

解：由題意得，S=4×S四邊形QPWM=4×PWQP，

∵PW= × ，QP=x，

∴ ．

∵a=﹣4＜0，

∴當(dāng)x=15 時(shí)，S有最大值．

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出NP的長(zhǎng)度，再利用正方形性質(zhì)表示出底面正方形面積進(jìn)而得出答案即可；（2）表示出長(zhǎng)方體的側(cè)面積進(jìn)而利用二次函數(shù)的最值求法得出答案．