Question

【題目】如圖，點A是x軸正半軸上的動點，點B的坐標為（0，4），將線段AB的中點繞點A按順時針方向旋轉90°得點C，過點C作x軸的垂線，垂足為F，過點B作y軸的垂線與直線CF相交于點E，點D是點A關于直線CF的對稱點，連接AC、BC、CD，設點A的橫坐標為t．

（1）線段AB與AC的數量關系是 ，位置關系是 ．

（2）當t=2時，求CF的長；

（3）當t為何值時，點C落在線段BD上？求出此時點C的坐標；

（4）設△BCE的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）AB=2AC，AB⊥AC；

（2）CF=1；

（3）當t=﹣2時，點C落在線段BD上；點C的坐標為（，﹣1+）；

（4）①當0＜t≤8時， S=﹣t2+t+4；②當t＞8時， S=t2﹣t﹣4；③t=8時，S=0．

【解析】

（Ⅰ）根據“線段AB的中點繞點A按順時針方向旋轉90°得點C”推知AB與AC的關系；

（Ⅱ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=OA=t，由此求出CF的值；

（Ⅲ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的長度；若點C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據相似比例式列方程求出t的值；

（Ⅳ）有三種情況，需要分類討論：當0＜t≤8時，如題圖1所示；當t＞8時，如答圖1所示；t=8時．

（Ⅰ）∵如圖，將線段AB的中點繞點A按順時針方向旋轉90°得點C，

∵AB=2AC，∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．

（2）由題意，易證Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴．

∵AB=2AM=2AC，

∴CF=OA=t．

當t=2時，CF=1；

（Ⅲ）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴，

∴AF=OB=2，∴FD=AF=2，．

∵點C落在線段BD上，

∴△DCF∽△DBO，

∴，

即，

整理 得t2+4t-16=0

解得 t=2-2或t=-2-2（不合題意，舍去）

∴當t=2-2時，點C落在線段BD上．

此時，CF=t=-1，

OF=t+2=2，

∴點C的坐標為（2，-1+）；

（Ⅳ）①當0＜t≤8時，如題圖1所示：

S=BECE=（t+2）（4-t）=-t2+t+4；

②當t＞8時，如答圖1所示：CE=CF-EF=t-4

S=BECE=（t+2）（t-4）=t2-t-4；

③如答圖2，當點C與點E重合時，CF=OB=4，可得t=OA=8，此時S=0．