Question

已知：正方形ABCD的邊長為1，點P為對角線BD上一點，連接CP．
（1）如圖1，當BP=BC時，作PE⊥PC，交AB邊于E，求BE的長；
（2）如圖2，當DP=DC時，作PE⊥PC，交BC邊于E，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質和已知條件證明△BPE≌△DCP，得到BE=PD．又因為BE=PD=BD-BP，從而求出BE的長；
（2）由已知條件和正方形的性質判定△BPE∽△BCP，得到關于BP，BC，BE的比例式，進而求出BE的長．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠BDC=45°，∠BCP+∠DCP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠BPE+∠BPC=90°，
∵BP=BC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠BPE=∠DCP，
又BP=BC=DC，
∴△BPE≌△DCP，
∴BE=PD．
∵BC=CD=1，
∴BD=，
又BP=BC=1，
∴BE=PD=BD-BP=；

（2）∵BC=CD=DP=1，
∴BD=，PB=．
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠BPE+∠DPC=90°．
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
又∠BCP+∠DCP=90°，
∴∠BPE=∠BCP，
又∠PBE=∠CBP，
∴△BPE∽△BCP，
∴，
∴．
點評：本題考查了正方形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質以及三角形相似的判定和性質，綜合性很強，并且有一定的難度．