Question

如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點O在AB上，且CA=CO=6，cos∠CAB=，若將△ACB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AC′B′，且C′落在CO的延長線上，連接BB′交CO的延長線于點F，則BF=________．

Answer 1

14
分析：過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD=DO，然后根據(jù)∠CAB的余弦值列式求出AB、AD的值，再求出AO的值，根據(jù)BO=AB-AO代入數(shù)據(jù)求出BO，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，AB=AB′，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角得到∠CAC′=∠BAB′，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABB′=∠ACC′，從而求出∠BOF=∠BFO，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BF=BO，從而得解．
解答：解：過C作CD⊥AB于點D，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB===，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB==，
∴AD=AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB-AO=18-4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=（180°-∠CAC′），∠ABB′=（180°-∠BAB′），
∴∠ABB′=∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO=∠CAO，
∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（對頂角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14．
故答案為：14．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，求出BO的長度之后，難點在于求BF=BO．